Innehållsförteckning för HS No. 297 från Science & Vie

7 26 18 26 17 3 Ces suites de nombres sont deux autres façons, parmi une infinité, de chiffrer le mot-mystère affiché en code binaire sur la couverture de ce magazine. Tant de formulations possibles pour un même terme, c’est l’un des charmes fous des mathématiques! Les experts de ce numéro, à l’instar de la mathématicienne Olivia Caramello, le disent: “Regarder une démonstration mathématique, c’est comme regarder le tableau d’un grand maître.” Car oui, heureusement, on n’est nullement obligé de connaître la technique du fauvisme pour apprécier un Matisse, ni de maîtriser celle de la fonderie pour trouver une sculpture en bronze magistrale, ni de percer les secrets de fabrication d’un violoncelle pour apprécier sa sonorité profonde. Il en va de même des équations et autres récréations mathématiques. C’est parfois…

SVHS : Quelle place occupent les mathématiques dans votre vie ? Olivia Caramello : Je suis mathématicienne, alors forcément, les mathématiques occupent une très grande place ! Elles enrichissent chaque jour ma vision du monde et je mesure ma chance de faire un métier qui correspond à ma passion. SVHS : Quand est né votre intérêt pour les nombres et comment vous ont-ils accompagnée dans votre parcours ? O. C. : J’ai commencé à m’intéresser sérieusement aux mathématiques à l’âge de 13 ans, quand j’ai découvert la notion de démonstration mathématique. J’ai compris que ce n’était pas une discipline aride, mais au contraire un espace de liberté dans lequel on peut exercer sa créativité, développer son style personnel, tout en gardant une très grande rigueur scientifique. Ma passion…

SVHS : Quelle place occupent les mathématiques dans votre vie ? Charles Kremer : Je suis le directeur général d’une entreprise spécialisée dans la blockchain, une technologie qui permet de transmettre des informations entre deux parties prenantes de façon sécurisée, mais sans avoir à passer par un tiers de confiance, une banque par exemple. L’application la plus connue de la blockchain, ce sont les cryptomonnaies, dont le fameux bitcoin. Le développement de cette technologie repose entièrement sur des concepts mathématiques très poussés. Néanmoins, mon équipe et moi ne manions pas quotidiennement ces concepts mathématiques,cen’estpasnous qui les concevons. Nous nous contentons de “piocher” dans la bibliothèque des mécanismes de cryptage existants pour répondre aux besoins de nos clients. SVHS : Quand est né votre intérêt pour les nombres et comment vous…

L’infini, abstraction ultime? Son concept même nous paraît inaccessible par l’imagination. Pensez au nombre le plus grand possible, et il en existera toujours un derrière lui, plus immense encore. Alors qu’en mathématique, il suffit d’écrire le petit symbole 8, et vous avez l’infini sur une feuille de papier. “L’infini est une réalité mathématique”, atteste ainsi Frank Wagner, mathématicien à l’université de Lyon. Cela n’a toutefois pas toujours été le cas. L’infini tel que défini de nos jours n’existe que depuis le XIXe siècle. Mais bien avant, les penseurs antiques l’utilisaient déjà. Benoît Henry, enseignant chercheur de l’IMT Lille-Douai, rappelle l’exemple célèbre des paradoxes de Zénon. “Si vous tirez une flèche qui va atteindre une destination en partant d’un point, on peut décomposer ce mouvement en une infinité d’étapes.” Ainsi, on…

À l’aube du nouveau millénaire, le 24 mai 2000, 7 problèmes furent présentés au Collège de France, à Paris, par un comité scientifique d’experts mondiaux à l’initiative de l’Institut de mathématiques Clay. Cet institut, fondé par Landon T. Clay en 1998, cherchait ainsi à promouvoir les sciences mathématiques auprès du grand public. Alors que des mathématiciens du monde entier s’y attellent depuis vingt et un ans, un seul de ces problèmes a trouvé son maître ! La récompense à elle seule peut valoir la peine de s’y intéresser : 7 millions de dollars sont mis en jeu, soit 1 million par problème résolu. Pour autant, cela n’est pas le moteur principal. Pour preuve, le seul à avoir résolu l’un de ces problèmes, Grigori Perelman (voir “La conjecture de Poincaré”), a…

Le biais de positivité Aurions-nous tendance à être naturellement positifs ? Pour le savoir, le chercheur en sciences cognitives Nicolas Gauvrit a demandé à un groupe d’étudiants de choisir au hasard entre “oui” et “non”. Il a également effectué ce test pour d’autres paires d’antonymes à connotation positive et négative comme “aimer/détester”, “indemne/blessé” et “mort/vif”. Les résultats sont sans appel: l’item positif (“oui”, “aimer”, “indemne”, “vif”) apparaît systématiquement plus souvent que son contraire. Face à un choix pourtant fait au hasard, les sujets n’arrivent visiblement pas à oublier le sens des mots. Cet exemple nous montre qu’aux biais liés à notre perception des mathématiques peuvent parfois s’ajouter d’autres erreurs de jugement, comme ce surprenant biais sémantique. À pile ou face Des chercheurs ont demandé à un grand nombre de…

SVHS : Depuis quand cherchons-nous à chiffrer nos informations ? RomainAlléaume : Le plus ancien document chiffré connu remonte à l’Antiquité. Il s’agit d’une tablette d’argile, retrouvée en Irak, et datant du XVIe siècle avant notre ère. Les historiens ont ensuite trouvé des traces de messages chiffrés chez les Grecs de l’Antiquité, chez les Égyptiens, et même chez les Sumériens ! Finalement, on se rend compte que l’invention de la cryptographie est intimement liée à celle de l’écriture: à partir du moment où l’humain a commencé à stocker des informations par écrit, il semble s’être mis en quête de moyens de plus en plus sophistiqués pour cacher des messages. SVHS : En quoi consistaient les premiers chiffrements ? R. A. : Pendant très longtemps, les techniques de cryptographie sont restées…

En quoi consiste le fameux calcul que les mineurs de bitcoin doivent réaliser pour valider un bloc ? Tout commence par un procédé cryptographique appelé fonction de hachage. “Cette fonction consiste à prendre un fichier de n’importe quelle taille, ici l’historique des transactions précédentes, et de le convertir en une suite finie de 0 ou de 1”, explique l’informaticien Olivier Blazy. Grâce à cette opération, la plus infime modification du fichier initial – par exemple une falsification d’un bloc de transactions – induira un changement radical du hash final, très facilement repérable. Histoire de corser l’affaire, et de créer une compétition artificielle pour la validation des blocs, le réseau Bitcoin impose aux mineurs d’ajouter à ce hash (qui encode l’historique des transactions) un suffixe constitué d’une certaine quantité de 0,…

“Les élèves français ne sont pas habitués aux modalités de passation de ces évaluations” “Attention, résultats en baisse”, “Peut mieux faire”, “Nettement en dessous de la moyenne”… S’il fallait établir le bulletin scolaire de notre pays sur la base des performances en mathématiques des petits Français, voici probablement les commentaires qui y seraient portés. Un niveau faible, et en baisse, déjà constaté il y a plusieurs années mais que deux évaluations internationales publiées en 2019 ont encore confirmé. Dans l’enquête TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study), qui évalue les compétences en mathématiques des élèves de CM1, la France arrive 41e sur 58 pays ou provinces, et avant-dernière des pays de l’OCDE. Dans cette même évaluation, les élèves de 4e ne font pas mieux : avec un score de…

Saurez-vous résoudre cette opération ? 9 – 18 ÷ 2 × 5 + (7 + 2 2  × 5) Cette question, accompagnée d’un calcul mêlant parenthèses, multiplications, additions, fractions… revient de façon récurrente sur les réseaux sociaux. Un défi mathématique sous forme de jeu qui engendre mauvaises réponses et débats sur les priorités opératoires dans des calculs mêlés. La réponse se trouve dans l’acronyme “Pemdas”, pour “parenthèse”, “exposant”, “multiplication”, “division”, “addition” et “soustraction”. À lui seul, il résume l’ordre dans lequel un calcul doit être résolu. Ainsi, les calculs entre parenthèses sont prioritaires sur les exposants qui, eux-mêmes, doivent être calculés avant les multiplications qui passent avant les divisions, etc. Et, pour une mise en abyme parfaite, sachez qu’à l’intérieur des parenthèses, la règle “Pemdas” s’applique de la même…

Les Maths au tribunal De Leila Schneps et Coralie Colmez, éd. du Seuil, 2015, 288 p., 20 €. Leila Schneps, mathématicienne au CNRS, et sa fille Coralie Colmez se sont penchées sur les affaires criminelles dans lesquelles des arguments statistiques erronés ont été utilisés. De l’affaire Dreyfus au procès d’Amanda Knox, chaque chapitre illustre une erreur mathématique courante responsable d’erreurs judiciaires passionnantes. C.H. Vous aimez les maths sans le savoir D’Antoine Houlou-Garcia, illustré par Olivier Cavallo, éd. Belin, 2020, 144 p., 18 €. Sous la forme très originale de 10 contes, cet ouvrage révèle la magie mathématique qui se cache derrière les codes chiffrés, les puzzles, les dés ou les fougères. Et, pour les amateurs, des énigmes ponctuent cette lecture divertissante. D.M. L’Aventure des nombres De Gilles Godefroy, éd. Odile…

SVHS : Quand est né votre intérêt pour les nombres et comment vous ont-ils accompagnée dans votre parcours ? Catherine Hill : Pour être tout à fait honnête, si je me suis orientée vers des études de mathématiques, c’est plus par “paresse” que par intérêt : pour moi, les maths ont toujours été faciles. Même à l’université, je parvenais à passer assez peu de temps à étudier pour me libérer et sortir avec mes amis, aller voir des concerts… J’ai assez facilement obtenu un DEA en logique et probabilités, mais j’ai ensuite préféré ne pas faire de thèse car, à ce niveau-là, les maths me paraissaient trop théoriques. J’ai alors entendu parler de l’unité de biostatistiques de l’Institut Gustave-Roussy, j’ai postulé et j’ai été embauchée. J’y ai ensuite fait…

algèbre L’algèbre désigne l’un des grands domaines des mathématiques. Le terme provient du terme arabe “al jabr” dont le sens équivaut à “mettre en place”. Une équation algébrique est composée d’opérations de calcul, comme les additions ou les multiplications. axiome L’axiome s’apparente aux fondations de la maison. Sans lui, rien ne tient debout. Un axiome constitue une proposition qui ne se démontre pas. Par exemple, dire que deux droites parallèles ne pourront jamais se croiser est un axiome sans lequel on ne peut définir de forme. De même, un ensemble arithmétique ou un modèle “existe” par simple énonciation. Attention à ses limites: l’axiome ne s’applique qu’à son domaine de définition. Ainsi deux droites parallèles ne se croiseront-elles pas sur un espace plat, mais pourront se croiser sur une dimension sphérique.…

Voici un problème actuel, non inclus dans la liste des 7 problèmes du millénaire. Il s’agit de mettre sur papier un phénomène physique aux implications très théoriques : la percolation. Imaginez une pierre dotée de multiples fissures internes que l’on plonge dans l’eau : existe-t-il un chemin pour que l’eau rejoigne son cœur ? On peut imaginer d’autres scénarios, par exemple avec des chemins de courants électriques, mais l’idée reste de calculer la probabilité d’avoir au moins 1 chemin. Lorsque l’on regarde un faible nombre de chemins, la probabilité est difficile à calculer. En revanche, si l’on considère un nombre infini de chemins, la probabilité passe, à une valeur critique, de 0 à 1. Le passage à l’infini permet de faciliter la compréhension ! En revanche, pour cequi est deformaliser…

161803398875... …sous son infinie forme décimale, ou (1 + v5) / 2 selon sa formule exacte : le nombre d’or existe bel et bien comme objet mathématique. Une lettre grecque, (phi), lui a même été attribuée. De façon irrationnelle, ce nombre est entouré d’une mythologie complexe. Certes, il a une propriété arithmétique étonnante et unique : le multiplier par lui-même revient à lui ajouter 1 (1,618 x 1,618 = 2,618 = 1,618 + 1). Pas de quoi expliquer pour autant son statut de star des mathématiques. S’il fascine autant, c’est parce qu’il serait une clé de voûte du monde physique et des œuvres d’art, associée à des critères de beauté et d’harmonie universels. Le mythe dit qu’on le retrouverait dans la structure et les proportions de tableaux des maîtres de…

L es investisseurs du dimanche le rêvaient en nouvel eldorado spéculatif. Les enthousiastes le voyaient percer le plafond des 100 000 dollars. Et pourtant, la chute a été brutale: entre avril et juin 2021, le cours du bitcoin s’est effondré, passant de 65 000 dollars à moins de 30 000. À l’origine de ce minikrach, plusieurs annonces successives. D’abord celle de l’influent PDG de Tesla, Elon Musk. D’un tweet le 13 mai, le milliardaire a signifié que son entreprise n’accepterait plus les paiements en bitcoins. Puis celle de la République populaire de Chine qui, le 20 juin, a procédé à la fermeture très médiatisée de 26 entreprises de minage de bitcoins dans la province du Sichuan, dédiées à l’enregistrement des transactions à la base du système. Un argument revient dans…

1913 Les règles du calcul mental En 1913, point de calculatrices de poche, les opérations se font posées sur le papier ou de tête. D’où l’éloge du calcul mental par le général Percin, auteur de l’article, pour qui il présente “l’avantage d’obliger l’opérateur à réfléchir”. Pour obtenir rapidement un résultat approximatif, mais proche de la vérité, il conseille de “remplacer les nombres qui entrent dans l’opération à effectuer par d’autres qui en diffèrent assez peu, qui soient d’un maniement plus facile, et qui donnent sensiblement le même résultat”. On peut affiner, ensuite “si on en a le temps et s’il y a lieu”. 1928 Les nombres sont les mots de la science Le professeur Marcel Boll ne publie pas un article, mais un long plaidoyer sur l’objet et l’utilité des…

SVHS : Quand est névotre intérêt pour les nombres et comment vous ont-ils accompagnée dans votre parcours ? Ersilia Vaudo Scarpetta : Je viens d’une famille de scientifiques. Dans la cuisine de ma mère, sur les pots, il n’était pas écrit “sel” ou “sucre”, mais la formule chimique qui leur correspondait. Chez nous, les maths étaient un jeu, un langage, un objet de blague même! Comme j’étais une jeune fille assez timide, avant de sortir, on me disait : “Ne fais pas ta fonction exponentielle, cherche à t’intégrer!“ Les maths, et plus généralement les sciences, sont une passion familiale. C’est donc assez naturellement que je me suis orientée vers des études scientifiques. J’ai choisi la physique, puis je me suis spécialisée en astrophysique. SVHS : Quelle place occupent aujourd’hui…

Fractales Multiplier les inflorescences Le chou romanesco (Brassica oleracea var. botrytis) est une variété de chou-fleur en forme de cône, constitué de… cônes organisés en spirales. Sur chacun, on trouve des cônes de plus petite taille, et ainsi de suite. Cette répétition en autosimilarité d’un motif que l’on observe à différentes échelles est un parfait exemple de la géométrie des fractales dans la nature. Pressenti par le Français Gaston Julia au début du XXe siècle, le modèle des fractales sera élaboré à partir de 1967 par le mathématicien d’origine polonaise Benoît Mandelbrot. C’est un article concernant la longueur des côtes anglaises qui amènera ce dernier à s’intéresser particulièrement à ce sujet : à cause d’un morcellement à toutes les échelles, la longueur finale des côtes se révèle très différente selon…

21 millions : c’est la limite théorique du nombre de bitcoins. De fait, si le réseau émet une nouvelle quantité de bitcoins toutes les dix minutes, cette quantité est divisée par deux tous les quatre ans. “On est ainsi passé de 50 bitcoins en 2008 à 25, puis à 12,5 et à 6,25 aujourd’hui. Ce mécanisme devrait donc faire plafonner le total à 21 millions de bitcoins aux alentours de 2140”, pointe le mathématicien Jean-Paul Delahaye. Pas de quoi alerter les observateurs. “Celui qui valide le bloc toutes les dix minutes reçoit non seulement de nouveaux bitcoins, mais aussi une commission liée à chaque transaction. Selon une logique de marché, il est probable que plus l’émission de bitcoins va se tarir, plus cette commission va s’élever. De sorte que l’incitation…

Parabole, ellipse, hyperbole… Ces termes désignent des courbes appelées coniques. Leur construction est issue de la section d’un cône par un plan selon un angle d’intersection entre l’axe du cône et le plan. Si l’on est plus littéraire, on pensera d’abord à des figures de style! Que viennent faire des représentations de formes géométriques – ou figures – dans le langage ? Celles-ci ont été décrites au IIIe ›siècle av. J.-C. par le géomètre et astronome Apollonius de Perge. Il a nommé les hyperboles, paraboles et ellipses à partir de leur signification en grec ancien. Dans le domaine de l’étude du discours, des penseurs et orateurs tels que le philosophe Platon se sont intéressés aux formules utilisées pour persuader un auditoire. Puis cette étude a évolué, notamment avec Cicéron, puis…